Решите уравнение х (х+3) (х+5) (х+8) + 56=0

1. Перемножим х и третью скобку, а затем первую и вторую скобки:

х (х + 3) (х + 5) (х + 8) + 56 = 0;

х (х + 8) (х + 5) (х + 3) + 56 = 0;

(х² + 8x) (x² + 3x + 5x + 15) + 56 = 0;

(х² + 8x) (x² + 8x + 15) + 56 = 0;

2. Выполним замену:

х² + 8 х = у;

у (у + 15) + 56 = 0;

y² + 15y + 56 = 0;

3. Найдем y решив квадратное уравнение:

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = 15² - 4 * 1 * 56 = 225 - 224 = 1;

D › 0, значит:

y1 = ( - b - √D) / 2a = ( - 15 - √1) / 2 * 1 = ( - 15 - 1) / 2 = - 16 / 2 = - 8;

y2 = ( - b + √D) / 2a = ( - 15 + √1) / 2 * 1 = ( - 15 + 1) / 2 = - 14 / 2 = - 7;

4. Подставим корни уравнения:

х² + 8 х = у;

1) Если у = - 8, то:

х² + 8 х = - 8;

х² + 8 х + 8 = 0;

D = b² - 4ac = 8² - 4 * 1 * 8 = 64 - 32 = 32;

D › 0, значит:

х1 = ( - b - √D) / 2a = ( - 8 - √32) / 2 * 1 = ( - 8 - √16 * 2) / 2 = ( - 8 - 4√2) / 2 = - 4 - 2√2;

х2 = ( - b + √D) / 2a = ( - 8 + √32) / 2 * 1 = ( - 8 + √16 * 2) / 2 = ( - 8 + 4√2) / 2 = - 4 + 2√2;

2) Если у = - 7, то:

х² + 8 х = - 7;

х² + 8 х + 7 = 0;

D = b² - 4ac = 8² - 4 * 1 * 7 = 64 - 28 = 36;

D › 0, значит:

х3 = ( - b - √D) / 2a = ( - 8 - √36) / 2 * 1 = ( - 8 - 6) / 2 = - 14/2 = - 7;

х4 = ( - b + √D) / 2a = ( - 8 + √36) / 2 * 1 = ( - 8 + 6) / 2 = - 2/2 = - 1;

Ответ: х1 = - 4 - 2√2, х2 = - 4 + 2√2, х3 = - 7, х4 = - 1.