При каких значениях параметра b неравенство x^2+2bx - (b-6) >0 верно для всех значений x?

x² + 2bx - (b - 6) > 0.

Рассмотрим функцию у = x² + 2bx - (b - 6), это квадратичная парабола, ветви ее расположены вверх. Значение данной функции будет положительными при условии, что она не пересекает (и не касается) оси х.

Квадратный трехчлен не имеет корней (точек пересечения параболы с осью х) тогда, когда его дискриминант меньше нуля.

Выразим дискриминант квадратного трехчлена x² + 2bx - (b - 6):

a = 1; b = 2b; c = - (b - 6).

D = b² - 4ac = (2b) ² - 4 * 1 * ( - (b - 6)) = 4b² + 4b - 24.

Составляем неравенство: D < 0.

4b² + 4b - 24 < 0.

4 (b² + b - 6) < 0.

b² + b - 6 < 0. Корни трехчлена по теореме Виета равны - 3 и 2, решением будет промежуток, где парабола у = b² + b - 6 расположена ниже оси х.

То есть b принадлежит промежутку (-3; 2).

Ответ: неравенство верно для любых значений х при b, принадлежащему промежутку (-3; 2).