1) Исследуйте функцию на монотонность y = 3/x+1 - 4 2) При каких значений p уравнение - x (в квадрате) + 6 х-2=р а) не имеет корней б) имеет 1 корень в) имеет 2 корня?

а). Исследуем функцию y = 3 / (x + 1) - 4 на монотонность по следующей схеме:

1). Найдем ОДЗ функции: х + 1 ≠ 0 → х ≠ 1. х ∈ (-∞; - 1) U (-1; ∞).

2). Найдем производную: y' = (3 / (x + 1) - 4) ' = 3 / (x + 1) ².

3) Найдем критические точки производной из ОДЗ: 3 / (x + 1) ² = 0 → х ≠ 1.

Функция существует при всех х, кроме х = - 1.

Значит, х = - 1 - единственная критическая точка.

4). Критическая точка х = - 1 разбивает числовую ось на два промежутка:

(-∞; - 1) и (-1; + ∞).

5). Определим интервалы знакопостоянства производной y':

y'>-1 на промежутке (-∞; - 1), так как y' = 3 / (-2 + 1) ² = 3> 0;

y'>-1 на промежутке (-1; + ∞), так как y' = 3 / (0 + 1) ² = 3> 0.

Функция терпит разрыв в точке х = - 1, график её гипербола.

Ответ: функция возрастает на ОДЗ, не монотонна.

2) Определим с помощью дискриминанта, сколько корней имеет уравнение, в зависимости от p: - x² + 6 х - 2 = р.

-x² + 6x - 2 - p = 0 →D = 6² - 4 * (-1) * ( - (2 - p)) = 36 - 8 - p = 28 - p.

В зависимости от знака дискриминанта квадратного уравнения зависит количество корней.

а) данная функция не имеет корней, если 28 - p 28;

б) функция имеет один корень, если 28 - p = 0, т. е. p = 28;

в) функция имеет два корня, если 28 - p > 0, т. е. p <28.