Упростите (sin^6 a + cos^6 a - sin^2a*cos^2 a) / (1-2cos^2a) ^2

Преобразуем числитель данного выражения с помощью формул суммы кубов и косинуса двойного угла:

sin^6 a + cos^6 a - sin^2a * cos^2 a = (sin^2 a) ^3 + (cos^2 a) ^3 - sin^2a * cos^2 a = (sin^2 a + cos^2 a) * (sin^4 a - sin^2a * cos^2 a + cos^2 a) - sin^2a * cos^2 a = sin^4 a - sin^2a * cos^2 a + cos^2 a - sin^2a * cos^2 a = sin^4 a - 2 * sin^2a * cos^2 a + cos^2 a = (sin^2a - cos^2 a) ^2 = (cos^2 a - sin^2a) ^2 = cos^2 2a.

Преобразуем знаменатель данного выражения с помощью формулы косинуса двойного угла:

(1 - 2cos^2 a) ^2 = (2cos^2 a - 1) ^2 = cos^2 2a.

Следовательно:

(sin^6 a + cos^6 a - sin^2a * cos^2 a) / (1 - 2cos^2 a) ^2 = cos^2 2a / cos^2 2a = 1.