Записать выражение (k^14) ^6/k^31 в виде степени с основанием k

Определим значение следующего выражения. Записываем решение.

(k^14) ^6/k^31 = k^ (14 * 6) / k^31 = k^84/k^31 = k^ (84 - 31) = k^53.

Сначала степени перемножаем. Затем выполняем действие деление. При делении степени у значений с одинаковым основанием отнимаются. В результате получается ответ равный k^53.

Чтобы записать данное выражение в виде степени, полезно будет вспомнить основные свойства степеней и действия, которые можно с ними выполнять.

Свойства и действия со степенями

Мы знаем, что возвести число или выражение в степень значит умножить это число или выражение само на себя столько раз, сколько показывает степень. Например:

1) 8^5 = 8*8*8*8*8 = 32768;

2) а^3 = а*а*а;

3) (а - b) ^2 = (a - b) * (a - b) = a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2.

Во всех этих выражениях 8, а и (а-b) называют основаниями, а 5, 3 и 2 - показателями степени.

А как быть, если, к примеру, заданы выражения 8^5 * 8^2, (8^5) ^2, (а^3) / а^5 или (а-b) ^-2? Разберёмся, записав правила выполнения действий со степенями:

при умножении друг на друга одинаковых оснований с разными показателями степени основание записываем как есть, а степени складываем, при делении - вычитаем: 8^5 * 8^2 = 8^ (5+2) = 8^7; a^3/a^5 = a^ (3-5) = a^-2; при возведении степени в степень основание записываем как есть, а степени перемножаем: (8^5) ^2 = 8^ (5*2) = 8^10; при возведении в степень произведения двух разных оснований каждое из этих оснований возводится в степень, результаты перемножаются : (8*а) ^3 = 8^3*а^3 = 512*а^3 и обратно 8^3*а^3 = (8*а) ^3; при делении - результаты делятся: (8:а) ^3 = 8^3:а^3 = 512:а^3 и обратно 8^3:а^3 = (8:а) ^3; при возведении дроби в степень числитель и знаменательна возводится в заданную степень: (8/3) ^2 = 8^2/3^2 = 64/9.

Следует также напомнить основные свойства степеней:

при возведении любого числа/выражения в нулевую степень получим единицу: 8^0 = 1, а^0 = а; при возведении любого числа/выражения в первую степень проучим это же число: 8^1 = 8, а^1 = а; число/выражение в отрицательной степени можно. записать в виде дроби: а^-2 = 1/а^2, (а-b) ^-2 = 1 / (a-b) ^2, 8^-3 = 1/8^3 = 1/512. Упростим заданное выражение

Дано выражение (k^14) ^6 / k^31, которое нужно записать в виде k в степени. Выполним преобразования, воспользовавшись вторым и первым правилами действий со степенями:

1) (k^14) ^6 = k^ (14*6) = k^84;

2) k^84 / k^31 = k^ (84 - 31) = k^53.

То есть выражение (k^14) ^6/k^31 = k^53.

Ответ: k^53.