При каких b квадратный трёхчлен x^2+2bx+5 имеет два действительных корня на отрезке [0; 5]

Квадратный трехчлен имеет два корня, если дискриминант больше нуля.

Приравняем заданный трехчлен к нулю и найдем его дискриминант.

x² + 2bx + 5 = 0,

D = b² - 4ac = (2b) ² - 4 * 5 = 4b² - 20 > 0 (2 корня).

4b² - 20 > 0,

b² - 5 > 0,

(b - √5) (b + √5) > 0.

Решаем неравенство методом параболы.

Трехчлен x² + 2bx + 5 имеет два корня при всех b ∈ (-∞; - √5) ⋃ (√5; + ∞).

Найдем пересечение промежутка (√5; 5] и объединения промежутков (-∞; - √5) и (√5; + ∞). На отрезке [0; 5] квадратный трехчлен имеет два действительных корня, при b ∈ (√5; 5].

Ответ: при b ∈ (√5; 5].