В арифметической прогрессии, состоящей из четырех целых чисел наибольший член равен сумме квадратов остальных трех членов. Найдите члены этой арифметической прогресии.

Question

Мирон Тихонов

Математика

24 января, 01:28

В арифметической прогрессии, состоящей из четырех целых чисел наибольший член равен сумме квадратов остальных трех членов. Найдите члены этой арифметической прогресии.

+4

Ответы (1)

Знаешь ответ на этот вопрос?

Даниил Федоров · Answer 1

1. Для арифметической прогрессии A (4) справедливо равенство: A4 = A1² + A2² + A3²; 2. Выразим все члены через A1 и D: A1 + 3 * D = A1² + (A1 + D) ² + (A1 + 2 * D) ²; A1 + 3 * D = A1² + A1² + 2 * A1 * D + D² + A1² + 4 * A1 * D + 4 * D²; 3 * A1² + 6 * A1 * D - A1 + 5 * D² - 3 * D = 0; 3 * A1² + (6 * D - 1) * A1 + D * (5 * D - 3) = 0; 3. Очень сложное по коеффициентам уравнение, попробуем другой вариант: A1 = A2 - D; A3 = A2 + D; A4 = A2 + 2 * D; 4. Подставляем в исходное уравнение: A2 + 2 * D = (A2 - D) ² + A2² + (A2 + D) ²; A2 + 2 * D = A2² - 2 * A2 * D + D² + A2² + A2² + 2 * A2 * D + D²; 2 * D² - 2 * D + 3 * A2² - A2 = 0; D1,2 = (2 + - sqrt (2² - 4 * 2 * (3 * A2² - A2)) / (2 * 2) = (2 + - sqrt (4 - 24 * A2² - 8 * A2) / 4; 5. Подкоренное выражение должно быть: 4 - 24 * A2² - 8 * A2 > = 0; 6 * A2² + 2 * A2 - 1 < = 0; 6. Найдем корни уравнения: 6 * A2² + 2 * A2 - 1 = 0; A21,2 = (-2 + - SQRT ((-2) ² + 4 * 6 * 1) / (2 * 6) = (-2 + - √28) / 12 = (-2 + - 2 * √7) / 12 = (-1 + - 2,65) / 6; 7. Таким образом, диапазон значений члена A2: A21 < = A2 < = A22; (-1 - 2,65) / 6 < = A2 < = (-1 + 2,65) / 6; - 0,6 < = A2 < = 0,26; 8. Так как члены прогрессии целочисленные, то A2 = 0; 9. Вычисляем разность прогрессии: 2 * D² - 2 * D + 3 * A2² - A2 = 0; 2 * D² - 2 * D = 0; 2 * D * (D - 1) = 0; 10. По определению разности арифметической прогрессии: D > 0; D - 1 = 0; D = 1; 11. Члены прогрессии: A1 = A2 - D = 0 - 1 = - 1; A3 = A2 + D = 0 + 1 = 1; A4 = A2 + 2 * D = 0 + 2 * 1 = 2. Ответ: арифметическая прогрессия A (4) - 1, 0, 1, 2.