Заданы точки А (2,-2,1), В (1,-1,2), С (-1,1.1). Найти угол при вершине А и площадь треугольника АВС

1. Дано:

А (2; - 2; 1); В (1; - 1; 2); С (-1; 1; 1).

Найти: ∠А и S.

2. Найдем стороны треугольника:

a = BC = √ (2^2 + 2^2 + 1^2) = √9 = 3; b = AC = √ (3^2 + 3^2 + 0^2) = √18 = 3√2; c = AB = √ (1^2 + 1^2 + 1^2) = √3.

3. Найдем ∠А:

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc * cos∠А; 2bc * cos∠А = b^2 + c^2 - a^2; cos∠А = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc); cos∠А = (18 + 3 - 9) / (2 * 3√2 * √3) = 12 / (6√6) = 2/√6 = 2√6/6 = √6/3; ∠А = arccos (√6/3).

4. Площадь:

sin∠А = √ (1 - cos^2∠А) = √ (1 - 6/9) = √ (3/9) = √3/3; S = 1/2 * bc * sin∠А = 1/2 * 3√2 * √3 * √3/3 = 3√2/2.