В треугольнике АВС АС=3, ВС=4, медианы АК и ВЛ перпендикулярны между собой. Найдите площадь треугольника АВС.

Свойство медиан: если медианы перпендикулярны, то сумма квадратов сторон, на которые они опущены, в пять раз больше третьей стороны.

В нашем треугольнике медиана АК опускается на сторону ВС, медиана ВЛ - на АС.

Из свойства следует:

ВС2 + АС2 = 5 * АВ2.

42 + 32 = 5 * АВ2

АВ = √ ((16 + 9) / 5) = √ (25/5) = √5.

Для нахождения площади, используется формула Герона:

S = √ (p * (p - a) * (p - b) * (p - c)), где р - полупериметр.

р = (3 + 4 + √5) / 2 = (7 + √5) / 2

S = √ ((7 + √5) / 2 * ((7 + √5) / 2 - 3) * ((7 + √5) / 2 - 4) * ((7 + √5) / 2 - √5)) = √ (7 + √5) / 2 * (7 + √5 - 6) / 2 * (7 + √5 - 8) / 2 / (7 + √5 - 2 * √5) / 2) = √ ((7 + √5) / 2 * (1 + √5) / 2 * (√5 - 1) / 2 * (7 - √5) / 2) = √ (((7 + √5) * (7 - √5)) / 4 * ((√5 - 1) * (√5 + 1)) / 4) = √ ((49 - 5) / 4 * (5 - 1) / 4) = √ (44/4 * 1) = √11.