В треугольнике АВС АА1 и ВВ1 - медианы, АА1=12 см, ВВ1=15 см. Медианы пересекаются в точке О, и угол АОВ=120 градусов. Найдите площадь треугольника.

Рассмотрим часть АВА1 В1, состоящую из 4-х треугольников АВО; АА1 О; А1 В1 О; АОВ1:

С1 = АО * ОВ * sin 120°; С2 = ОВ * А1 О * sin (180° - 120°) = ОВ * А1 О * sin 60°; С3 = А1 О * ОВ1 * sin 120°; С4 = ОВ1 * ОА * sin (180° - 120°) = ОВ1 * ОА * sin 60°.

АО = 2/3 * 12 = 8 см; ОВ = 2/3 * 15 см = 10 см; ОА1 = 1/3 * 12 = 4 см; ОВ1 = 1 / * 15 = 5 см. Площади равны:

С1 = 8 * 10 * sin 120°/2 = 80 * √3/2 * 2 = 20 * √3;

C2 = 10 * 4 * √3/2 * 2 = 10 * √3; C3 = 4 * 5 * √3/2 * 2 = 5 * √3; C4 = 5 * 8 * √3/2 * 2 = 10 * √3; C0 = C1 + C2 + C3 + C4 = (20 + 10 + 5 + 10) = 45 (см2).

С (АВС) = 4/3 * C0 = 60 cм2.