Найти область значений функции: y=cos^2x+cosx+2

1. Введем переменную:

cosx = t; y = cos^2x + cosx + 2; (1) y = t^2 + t + 2. (2)

2. График функции (2) - парабола со свойствами:

a) ветви направлены вверх;

b) абсцисса вершины равна:

x0 = - b/2a = - 1/2;

c) ордината вершины равна:

y0 = - D/4a = - (1^2 - 4 * 2) / 4 = - (1 - 8) / 4 = 7/4.

3. Поскольку t = cosx принимает значения на промежутке [-1; 1], то необходимо найти область значений функции (2) на этом отрезке:

y = t^2 + t + 2; y (-1) = (-1) ^2 + (-1) + 2 = 1 - 1 + 2 = 2; y (1) = 1^2 + 1 + 2 = 1 + 1 + 2 = 4; min (y) = y0 = 7/4; max (y) = y (1) = 4.

Область значений функции (1) : [7/4; 4].

Ответ: [7/4; 4].