Найдите сумму первых пятидесяти членов последовательности (an) заданной формулой (an) = 4n-2

Сначала докажем, что последовательность (a_n, где n - натуральное число), заданная формулой a_n = 4 * n - 2, является арифметической прогрессией. Применим метод математической индукции. С одной стороны: первый член равен a₁ = 4 * 1 - 2 = 2, второй член a₂ = 4 * 2 - 2 = 6, тогда разность (шаг) равен d = a₂ - a₁ = 6 - 2 = 4. С другой стороны. Пусть n - любое натуральное число. Тогда, если число a_n является n-ым членом арифметической прогрессии, то a_n+1 является (n + 1) - ым членом этой же арифметической прогрессии с тем же шагом d = 4. Действительно, a_n+1 - a_n = (4 * (n + 1) - 2) - (4 * n - 2) = 4 * n + 4 - 2 - 4 * n + 2 = 4 = d. Теперь можем вычислить сумму первых пятидесяти членов последовательности. С этой целью воспользуемся формулой определения суммы n первых членов (S_n) арифметической прогрессии S_n = ((2 * а₁ + d * (n - 1)) / 2) * n. При n = 50, имеем S₅₀ = ((2 * 2 + 4 * (50 - 1)) / 2) * 50 = 100 * 50 = 5000.

Ответ: 5000.