Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y=2x^3-9x^2-3 на отрезке [-1; 4]

Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции

y = 2x^3 - 9x^2 - 3, на отрезке [ - 1; 4].

Найдем точки экстремума функции

Сначала нужно найти точки экстремума функции, т. е. такие точки, в которых производная функции равна нулю или не существует.

Найдем производную функции

Для нахождения производной воспользуемся формулой:

(х^a) ' = ax^ (a - 1).

Тогда:

y' = (2x^3 - 9x^2 - 3) ' = 2 * 3 х^2 - 9 * 2 х = 6 х^2 - 18 х.

Точки экстремума:

у' существует при всех значениях х.

y' = 0:

6 х^2 - 18 х = 0,

6 х (х - 3) = 0,

х₁ = 0,

х₂ = 3.

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке достигается либо в точках экстремума, либо на концах отрезка.

Вычислим значение функции в точках экстремума и на концах отрека:

При х = - 1, y = 2 * (-1) ^3 - 9 * (-1) ^2 - 3 = - 2 - 9 - 3 = - 14.

При х = 0, y = 2 * 0^3 - 9 * 0^2 - 3 = - 3.

При х = 3, y = 2 * 3^3 - 9 * 3^2 - 3 = 54 - 81 - 3 = - 30.

При х = 4, y = 2 * 4^3 - 9 * 4^2 - 3 = 128 - 144 - 3 = - 19.

Таким образом, y_наим = у (3) = - 30, y_наиб = у (0) = - 3.

Ответ: y_наим = - 30, y_наиб = - 3.