Разложите на множители a^4+a^2+1

Для того, чтобы разложить выражение a ^ 4 + a ^ 2 + 1 на множители, приравняем выражение к 0 и найдем корни уравнения.

a ^ 4 + a ^ 2 + 1 = 0;

Пусть a ^ 2 = x, тогда получим квадратное уравнение.

x ^ 2 + x + 1 = 0;

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

D = b 2 - 4 * a * c = 1 2 - 4 · 1 · 1 = 1 - 4 = - 3;

Так как дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет действительных решений.

Значит, выражение a ^ 4 + a ^ 2 + 1 не раскладывается на множители.

Ответ: выражение a ^ 4 + a ^ 2 + 1 невозможно разложить на множители.

a⁴ + a² + 1

Это биквадратное уравнение.

Способы разложения на множители биквадратного уравнения С помощью дискриминанта. Найти корни биквадратного уравнения с помощью замены а² другой переменной, например Х. Тогда решение будет выглядеть (х - х₁) (х - х₂), где х₁ и х₂ - корни уравнения. С помощью формул квадрата суммы (квадрата разности) : (а + в) ² = а² + 2 ав + в² или (а - в) ² = а² - 2 ав + в². с помощью формулы разности квадратов: а² - в² = (а - в) (а + в).

1) Пробуем разложить уравнение a⁴ + a² + 1 с помощью дискриминанта.

Пусть а² = х

Получается уравнение х² + х + 1

D = 1² - 4 * 1 * 1 = 1 - 4 = - 3 (дискриминант отрицательный, корней уравнения нет).

2) Пробуем разложить на множители с помощью формула квадрата суммы.

a⁴ + a² + 1 = (а²) ² + 1 * а² + 1²

Но для формулы квадрата суммы не хватает 2 * 1 * а². Добавим его и для равновесия вычтем а².

(а²) ² + 2 * 1 * а² + 1² - а²

Получается (а² + 1) ² - а²

У нас получилась разность квадратов двух выражений: (а² + 1) и а.

Свернем их в скобки по формуле разности квадратов.

((а² + 1) + а) ((а² + 1) - а)

Уберем лишние скобки, получается два множителя.

(а² + 1 + а) (а² + 1 - а)

Ответ: a⁴ + a² + 1 = (а² + а + 1) (а² - а + 1)