Геометрическая прогрессия:b1 = 2√6q = 1 √6bn = 1 3 Найти: n, sn?

Дана геометрическая прогрессия {b_n}, для которой b₁ = 2√ (6), q = 1 / √ (6), b_n = 1/3, где q - знаменатель прогрессии. По требованию задания, найдём (если существует) такой номер n, для которого справедливы данные равенства и сумму первых n членов данной геометрической прогрессии. Как известно, для того, чтобы можно было иметь полную картину про геометрическую прогрессию {b_n}, достаточно знать всего два её параметра: первый член b₁ и знаменатель q. В задании, даны оба этих параметров, а именно, b₁ = 2√ (6) и q = 1 / √ (6). Используя формулу b_n = b₁ * q^{n - 1} определим то натуральное n (если таковое существует), для которого выполняется равенство b_n = 1/3. Имеем: 1/3 = 2√ (6) * (1 / √ (6)) ⁿ ^{- 1}. Поделим обе части этого равенства на 2√ (6). Тогда, получим: 1 / (6√ (6)) = 1 / (√ (6)) ⁿ ^{- 1} или, согласно свойств степеней и арифметического квадратного корня, (√ (6)) ⁿ ^{- 1} = (√ (6)) ³, откуда n - 1 = 3. Таким, образом, n = 3 + 1 = 4. Проверим: b₄ = b₁ * q^{4 - 1} = 2√ (6) * (1 / √ (6)) ³ = 2√ (6) * (1 / (√ (6)) ³) = (2 * √ (6) * 1) / (6 * √ (6)) = 1/3. Для того, чтобы вычислить требуемую сумму первых n = 4 членов данной геометрической прогрессии, воспользуемся формулой S_n = b₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q), q ≠ 1. Имеем: S₄ = b₁ * (1 - q⁴) / (1 - q) = 2√ (6) * (1 - (1 / √ (6)) ⁴) / (1 - (1 / √ (6))) = 2√ (6) * (1 - 1/36) / ((√ (6) - 1) / √ (6)) = 2√ (6) * ((36 - 1) / 36) * (√ (6)) / (√ (6) - 1)) = (2 * √ (6) * 35 * √ (6)) / (36 * (√ (6) - 1)) = 35 / (3 * (√ (6) - 1)) = (35 * (√ (6) + 1)) / (3 * (√ (6) - 1) * (√ (6) + 1)) = (35 * (√ (6) + 1)) / (3 * (6 - 1)) = (7/3) * (√ (6) + 1).

Ответ: n = 4; S_n = (7/3) * (√ (6) + 1).