Найдите значение sin α, cos α, tg a, если известно, что sin α/2=9/41 и 0

В задании дано sin (α / 2) = 9/41. Кроме того, известно, что 0 < α < π. Требуется вычислить значения sinα, cosα и tgα. Прежде всего, поделим на 2 все (левую, среднюю и правую) части двойного неравенства 0 < α < π. Тогда, имеем: 0 < α / 2 < π/2. Это означает, что угол α / 2 принадлежит к I координатной четверти, где все тригонометрические функции принимают положительные значения. Значение cos (α / 2) найдем, используя формулу sin²α + cos²α = 1 (основное тригонометрическое тождество), которую перепишем в виде cos²α = 1 - sin²α, откуда cosα = ±√ (1 - sin²α). Учитывая принадлежность угла α / 2, последнюю формулу будем использовать в виде cos (α / 2) = + √ (1 - sin² (α / 2)). Имеем: cos (α / 2) = + √ (1 - (9/41) ²) = √ (1 - 81/1681) = √ ((1681 - 81) / 1681) = √ (1600/1681) = 40/41. Теперь используя формулу tgα = sinα / cosα, найдём tg (α / 2) = sin (α / 2) / cos (α / 2) = (9/41) / (40/41) = (9 * 41) / (41 * 40) = 9/40. Для вычисления значений sinα, cosα и tgα воспользуемся, так называемыми формулами выражения тригонометрических функций через тангенс половинного угла. Имеем: sinα = 2 * tg (α / 2) / (1 + tg² (α / 2)) = 2 * (9/40) / (1 + (9/40) ²) = (2 * 9/40) / (1681/1600) = 720/1681; cosα = (1 - tg² (α / 2)) / (1 + tg² (α / 2)) = (1 - (9/40) ²) / (1 + (9/40) ²) = (1519/1600) / (1681/1600) = 1519/1681; tgα = 2 * tg (α / 2) / (1 - tg² (α / 2)) = 2 * (9/40) / (1 - (9/40) ²) = (2 * 9/40) / (1519/1600) = 720/1519.

Ответы: 720/1681; 1519/1681; 720/1519.