1. решить предел Лапиталем: lim (x->0) ((ln sin2x) / (ln sinx))

Поскольку заданная функция при x = 0 представляет из себя

неопределённость вида минус бесконечность делённая на минус

бесконечность, то правило Лопиталя применимо и для нахождения

предела заданной функции:

im (x → 0) ((ln sin 2 x) ' / (ln sin x)) ' =

lim (x → 0) ((2 cos 2 x / sin 2 x) / (cos x / sin x)).

Так как, члены в выражении не равные нулю или бесконечности

при x = 0 не влияют на раскрытие неопределённости, то им можно

придать значение предела x = 0 и вынести за скобки.

Получим выражение

2 lim (x → 0) (sin x / sin 2 x),

в котором появилась неопределённость уже вида 0/0, поэтому

правило Лопиталя применим вторично:

2 lim (x → 0) (sin' x / sin' 2 x) =

2 lim (x → 0) (cos x / (2 cos 2 x) = 1.