Cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x + cos 5x=0

1) Известна формула суммы косинусов: cos α + cos β = 2 * cos ((α + β) / 2) * cos ((α - β) / 2). 2) Воспользуемся ею так: cos x + cos 5x = 2 * cos 3x * cos (-2x), cos 2x + cos 4x = 2 * cos 3x * cos (-x). 3) С учётом того, что cos (-α) = cos α получим, что исходное уравнение равносильно уравнению: 2 * cos 3x * cos 2x + 2 * cos 3x * cos x + cos 3x = 0. 4) Вынесем за скобки cos 3x. Получим: cos 3x * (2 * cos 2x + 2 * cos x + 1) = 0. 5) Применив формулу косинуса двойного угла, получим: cos 3x * (4 * cos2 x + 2 * cos x - 1) = 0. 6) Если произведение двух множителей равно 0, то, значит, либо один из них равен 0, либо другой. Получим: cos 3x = 0, откуда: 3x = ± π/2 + 2πk, x = ± π/6 + 2/3 * πk, где k - целое. Также из квадратного относительно cos x уравнения, получим: x = ± arccos ((-1 ± √5) / 4) + 2 пm, где m - целое. ОТВЕТ: x = ± π/6 + 2/3 * πk, x = ± arccos ((-1 ± √5) / 4) + 2 пm, где k и m - целые.