Докажите, что из всех прямоугольных треугольников с суммой катетов, равной 6 см, наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник.

Обозначим через х один из катетов данного прямоугольного треугольника.

В условии задачи сказано, что сумма катетов данного прямоугольного треугольник равна 6 см, следовательно, длина второго катета этого треугольника составляет 6 - х cм, а площадь S этого прямоугольного треугольника, равная половине произведения его катетов составляет:

S = х * (6 - х) / 2 см^2.

Преобразуем выражение для площади этого треугольника следующим образом:

х * (6 - х) / 2 = (6 х - х^2) / 2 = (9 - 9 + 6 х - х^2) / 2 = (9 - (9 - 6 х + х^2) / 2 = (9 - (3 - х) ^2) / 2.

Полученное выражение достигает максимального значения при х = 3.

При данном значении х второй катет равен 6 - х = 6 - 3 = 3.

Таким образом, площадь треугольника будет максимальной, когда его катеты равны, то есть, когда треугольник равнобедренный.