Докажите неравенство а) (х+у) ^2≥4 ху б) х^3+y^3≥x^2y+xy^2 (x>0, у>0)

а) (х + у) ^2 ≥ 4 ху (x > 0, у > 0)

Применим к левой части формулу сокращенного умножения (квадрат суммы):

х^2 + 2 ху + y^2 ≥ 4 ху.

Перенесем все в левую часть и приведем подобные слагаемые:

х^2 + 2 ху + y^2 - 4 ху ≥ 0;

х^2 - 2 ху + y^2 ≥ 0.

Воспользуемся формулой квадрата разности двух чисел:

(х - у) ^2 ≥ 0.

Квадрат любого числа всегда неотрицательное число, независимо от значений х и у. Доказано.

б) х^3 + y^3 ≥ x^2y + xy^2 (x > 0, у > 0)

Распишем левую часть по формуле суммы кубов, а в правой части вынесем общий множитель за скобки:

(х + y) (х^2 - xy + y^2) ≥ xy (х + y).

Разделим уравнение на общий множитель х + y, при этом знак не поменяется, так как делим на положительное число (сумма положительных чисел - положительна):

(х^2 - xy + y^2) ≥ xy;

х^2 - 2xy + y^2 ≥ 0;

(х - у) ^2 ≥ 0.

Аналогично предыдущему. Доказано.