В геометрической прогрессии {an} с положительными членами a2=8, a4=72. найдите сумму первых пяти членов этой прогрессии

Дано: {a_n} - геометрическая прогрессия;

a₂ = 8, a₄ = 72;

Найти: S₅ - ?

Формула n-го члена геометрической прогрессии: a_n = a₁q^ (n-1),

где a₁ - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии.

Распишем известные нам по условию второй и четвертый члены прогрессии:

a₂ = a₁q^ (2-1) = a₁q = 8, отсюда a₁ = 8 : q;

a₄ = a₁q^ (4-1) = a₁q^3 = 72, отсюда a₁ = 72 : q^3.

Найдём знаменатель q заданной геометрической прогрессии:

a₄ : a₂ = a₁ q^3 : a₁q = q^2, т. е. q = sqrt (a₄ : a₂) = sqrt (78 : 8) = 3.

a₁ = a₂ / q = 8/3.

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии:

S_n = a₁ (q^n - 1) / (q - 1), т. е. S₅ = 8/3 (3^5 - 1) / (3 - 1) = 8/3 * 242 : 2 = 968/3 = 322 2/3.

Ответ: S₅ = 322 2/3.