Про число a известно, что его последняя цифра равна 1, и что оно делится ровно на десять различных чисел (включая 1 и a). какое это число?

1. Количество натуральных делителей числа n, представленного в виде произведения степеней простых множителей:

n = p1^n1 * p1^n2 * ... * pk^nk,

определяется формулой:

N (n) = (n1 + 1) (n2 + 1) * ... * (nk + 1). (1)

2. Из формулы (1) следует:

N (a) = 10;

(n1 + 1) (n2 + 1) * ... * (nk + 1) = 10. (2)

3. Уравнение (2) может иметь такие решения:

a) n1 + 1 = 10;

n1 = 9;

a = p1^9.

Единственная цифра, которая дает в девятой степени последнюю цифру 1 - сама цифра 1.

Поэтому искомые числа выглядят как:

(10m + 1) ^9, при условии, что 10m + 1 - простое число. Например:

11^9; 31^9; 41^9 и т. д.

b) (n1 + 1) (n2 + 1) = 10;

n1 = 1;

n2 = 4;

a = p1 * p2^4.

В этом случае много решений, при условии:

p2 - простое число и оканчивается на цифры 1, 3, 7, 9; p1 - простое число и оканчивается на цифру 1.

Например:

11 * 3^4; 11 * 17^4; 41 * 19^4; и т. д.

Наименьшее из этих чисел: 11 * 3^4 = 891.