Сколько существует таких натуральных чисел A, что среди чисел A, A+10 и A+20 ровно два четырехзначных?

Обозначим:

aa = x;

а + 10a + 10 = 11a + 10 = y;

а + 20a + 20 = 21a + 20 = z;

Определим значения a, при которых эти числа четырехзначные:

1) Условие четырехзначности для x:

1000 < = аа < 10000;

10 < = a < = 99 (для целых значений а).

2) Условие четырехзначности для y:

1000 < = 11a + 10 < 10000;

90 < = a < = 908 (для целых значений а).

3) Условие четырехзначности для z:

1000 < = 21a + 20 < = 10000;

47 < = a < = 475 (для целых значений а).

Таким образом, объединив условия четырехзначности для каждого из этих чисел, имеем:

10 < = a < = 99;

90 < = a < = 908;

47 < = a < = 475.

Для того, чтобы определить количество четырехзначных чисел для каждого значения a, рассмотрим множество целых чисел [10; 908]. Разделим это множество на следующие подмножества:

[10; 46]; [47; 89]; [90; 99]; [100; 475]; [476; 908].

Очевидно, что:

для подмножеств [10; 46] и [476; 908] имеем единственное четырехзначное число: x или y;

для подмножества [90; 99] все три числа четырехзначные: x, y и z;

а для подмножеств [47; 89] и [100; 475] будем иметь ровно два четырехзначных числа: x и z или y и z соответственно.

Остается только посчитать количество этих чисел:

(89 - 47 + 1) + (475 - 100 + 1) = 43 + 376 = 419;

Ответ: 419 чисел.