Сколько существует таких натуральных чисел AA, что среди чисел AA, A+10A+10 и A+20A+20 ровно два четырехзначных?

Решение

Обозначим:

aa = x;

a+10a+10 = 11a+10 = y;

a+20a+20 = 21a+20 = z;

Составление неравенств

Определим значения a, при которых эти числа четырехзначные:

1) Условие четырехзначности для x:

1000 < = х < 10000;

1000 < = aa < 10000;

10 < = a < 100;

10 < = a < = 99 (для целых значений а).

2) Условие четырехзначности для y:

1000 < = y < 10000;

1000 < = 11a+10 < 10000;

990 < = 11a < 9990;

90 < = a < 908,2;

90 < = a < = 908 (для целых значений а).

3) Условие четырехзначности для z:

1000 < = z < 10000;

1000 < = 21a+20 < = 10000;

980 < = 21a < 9980;

46,7 < = a < 475,2;

47 < = a < = 475 (для целых значений а).

Таким образом, объединив условия четырехзначности для каждого из этих чисел, имеем:

10 < = a < = 99; 90 < = a < = 908; 47 < = a < = 475.

Количество четырехзначных чисел

Для того, чтобы определить количество четырехзначных чисел для каждого значения a, рассмотрим множество целых чисел [10; 908]. Разделим это множество на следующие подмножества:

[10; 46]; [47; 89]; [90; 99]; [100; 475]; [476; 908].

Очевидно, что:

для подмножеств [10; 46] и [476; 908] имеем единственное четырехзначное число: x или y;

для подмножества [90; 99] все три числа четырехзначные: x, y и z;

а для подмножеств [47; 89] и [100; 475] будем иметь ровно два четырехзначных числа: x и z или y и z соответственно.

Остается только посчитать количество этих чисел:

(89-47+1) + (475-100+1) = 43 + 376 = 419;

Ответ: 419 чисел.