5. Карлсон и Малыш играют в следующую игру. По кругу лежат а) 2015, б) 2016 конфет. За один ход можно взять или ровно одну конфету, или три подряд лежащих (в первоначальной раскладке) конфеты. Проигрывает тот, у кого нет хода. Кто выиграет в каждом из случаев при правильной игре, если всегда начинает Карлсон?

В данном случае каждый из игроков может выбрать беспроигрышную стратегию, оставляя противнику число конце, кратное 4. В этом случае на предпоследнем ходу проигравший игрок сможет взять 1 или 3 конфеты, а победитель (тот кто играл по выигрышной стратегии и оставлял кратное 4 количество конфет) возьмет последние конфеты.

Проверим предложенные варианты:

а) 2015 конфет.

2015 : 4 = 503 (3 ост). В этом случае Карлсон может взять за первый ход 3 конфеты и обеспечить себе победу.

б) 2016 конфет.

2016 : 4 = 504. В этом случае Карлсон не сможет за первый ход перейти к выигрышной стратегии - число уже кратно 4. Следовательно, в этой партии победит малыш.

Ответ: а) Карлсон; б) Малыш.