При каких значениях параметра а больший корень уравнения x^2 - a (a+2) + 2a^3 = 0 больше 1/4.

1. Решим уравнение:

x^2 - a (a + 2) + 2a^3 = 0;

D = (a^2 + 2a) ^2 - 8a^3 = (a^2 - 2a) ^2;

x = (a^2 + 2a ± √ (a^2 - 2a) ^2) / 2 = (a^2 + 2a ± (a^2 - 2a)) / 2;

x1 = (a^2 + 2a - (a^2 - 2a)) / 2 = (a^2 + 2a - a^2 + 2a) / 2 = 2a; x2 = (a^2 + 2a + (a^2 - 2a)) / 2 = (a^2 + 2a + a^2 - 2a) / 2 = a^2.

2. Сравним корни x1 и x2:

a^2 - 2a = a (a - 2);

a) a ∈ (-∞; 0) ∪ (2; ∞) = > a^2 - больший корень;

{a ∈ (-∞; 0) ∪ (2; ∞);

{a^2 > 1/4; {a ∈ (-∞; 0) ∪ (2; ∞);

{a ∈ (-∞; - 1/2) ∪ (1/2; ∞);

a ∈ (-∞; - 1/2) ∪ (2; ∞).

b) a ∈ (0; 2) = > 2a - больший корень;

{a ∈ (0; 2);

{2a > 1/4; {a ∈ (0; 2);

{a > 1/8; {a ∈ (0; 2);

{a ∈ (1/8; ∞);

a ∈ (1/8; 2).

Объединим множества:

a ∈ ((-∞; - 1/2) ∪ (2; ∞)) ∪ (1/8; 2);

a ∈ (-∞; - 1/2) ∪ (1/8; 2) ∪ (2; ∞).

Ответ: (-∞; - 1/2) ∪ (1/8; 2) ∪ (2; ∞).