Сумма трех чисел составляющих возрастающую геометрическую прогрессию равна 56. если из них вычесть соответственно 1,7 и 21, то вновь полученные числа составят арифметическую прогрессию. найдите сумму десяти членов геометрической прогрессии. решение нужно?

Question

Aikis

Математика

17 августа, 10:42

Сумма трех чисел составляющих возрастающую геометрическую прогрессию равна 56. если из них вычесть соответственно 1,7 и 21, то вновь полученные числа составят арифметическую прогрессию. найдите сумму десяти членов геометрической прогрессии. решение нужно?

+4

Ответы (1)

Знаешь ответ на этот вопрос?

Rikusha · Answer 1

1. Числа B1, B2, B3 образуют возрастающую (Q > 1) прогрессию; B1 + B2 + B3 = 56; B1 + B1 * Q + B1 * Q ² = B1 * (1 + Q + Q²) = 56; 2. Числа A1, A2, A3 образуют арифметическую прогрессию; A1 = B1 - 1; A2 = B2 - 7; A3 = B3 - 21; 3. Свойство членов арифметической прогрессии: A2 = (A1 + A3) / 2; 2 * (B2 - 7) = (B1 - 1) + (B3 - 21); B1 - 2 * B2 + B3 = 21 + 1 - 14; B1 * (1 - 2 * Q + Q²) = 8; 4. Исключаем B1, разделив: (B1 * (1 + Q + Q²)) / (B1 * (1 - 2 * Q + Q²)) = 56 / 8 = 7; (1 + Q + Q²) / (1 - 2 * Q + Q²) = 7; 1 + Q + Q² = 7 * (1 - 2 * Q + Q²); 6 * Q² - 15 * Q + 6 = 0; 2 * Q² - 5 * Q + 2 = 0; Q1,2 = (5 + - sqrt (5² - 4 * 2 * 2) / (2 * 2) = (5 + - 3) / 4; Q1 = (5 - 3) / 4 = 1/2 (меньше единицы); Q = (5 + 3) / 4 = 2; B1 = 56 / (1 + Q + Q²) = 56 / (1 + 2 + 4) = 56 / 7 = 8; B2 = B1 * Q = 8 * 2 = 16; B3 = B1 * Q ² = 8 * 4 = 32; 5. Сумма первых десяти членов геометрической прогрессии: S10 = B1 * (Q^10 - 1) / (Q - 1) = 8 * (2^10 - 1) / (2 - 1) = 8 * (1024 - 1) = 8184. Ответ: S10 = 8184.