Сумма трех чисел, составляющих возрастающую геометрическую прогрессию, равна 70, а если из них вычесть соответственно 2, 8 и 24, то вновь полученные числа составят арифметическую прогрессию. Найти сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии

Имеем геометрическую прогрессию. Запишем формулу для нахождения n-го члена прогрессии:

bn = b1 * q^ (n - 1);

Сумма трех членов равна 70:

b1 + b2 + b3 = 70;

b1 + b1 * q + b1 * q^2 = 70;

После того, как вычитают числа из членов прогрессии, они уже образуют арифметическую прогрессию:

(b1 * q^2 - 24) - (b1 * q - 8) = (b1 * q - 8) - (b1 - 2);

b1 * q^2 - b1 * q - 16 = b1 * q - b1 - 6;

b1 * (q^2 - 2 * q + 1) = 10;

b1 * (q^2 + q + 1) = 70;

Получим:

q^2 + q + 1 = 7 * (q^2 - 2 * q + 1);

7 * q^2 - 14 * q + 7 - q^2 - q - 1 = 0;

6 * q^2 - 15 * q + 6 = 0;

2 * q^2 - 5 * q + 2 = 0;

D = 25 - 4 * 4 = 9;

q1 = (5 - 3) / 4 = 1/2 - не подходит, прогрессия возрастающая.

q2 = (5 + 3) / 4 = 2;

b1 = 70 / (4 + 2 + 1) = 10;

10, 20, 40 - члены прогрессии.

8, 12, 16, ... - члены арифметической прогрессии.

S12 = (a1 + a1 + 11 * d) * 6 = (2 * 8 + 11 * 4) * 6 = 60 * 6 = 360.