5sin^2 (x) - 14sin (x) cos (x) - 3cos^2 (x) = 2 Показать полное решение

Допустим, что cosх ≠ 0. Поделим обе части данного уравнения на cos²х. Тогда, используя формулы tgα = sinα / cosα и 1 + tg²α = 1 / cos²α, получим: 5 * tg²х - 14 * tgх - 3 = 2 * (1 + tg²х) или 3 * tg²х - 14 * tgх - 5 = 0. Сделаем замену переменной. Пусть у = tgх. Тогда наше уравнение примет вид: 3 * у² - 14 * у - 5 = 0. Таким образом, получили квадратное уравнение, дискриминант D которого равен D = (-14) ² - 4 * 3 * (-5) = 196 + 60 = 256. Квадратное уравнение имеет два различных корня, так как D = 256 > 0. Вычислим корни квадратного уравнения: у₁ = (14 - √ (256)) / (2 * 3) = (14 - 16) / 6 = - 2/6 = - 1/3 и у₂ = (14 + √ (256)) / (2 * 3) = (14 + 16) / 6 = 30/6 = 5. Возвращаясь к переменной х, рассмотрим два уравнения. А) При у = - 1/3, имеем: tgх = - 1/3. Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является х = arctg (-1/3) + π * m, где m ∈ Z - множество целых чисел. Учитывая нечётность арктангенс функции, получим: х = - arctg (1/3) + π * m, где m ∈ Z - множество целых чисел. Б) При у = 5, имеем: tgх = 5. Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является х = arctg5 + π * n, где n ∈ Z - множество целых чисел.

Ответ: х = - arctg (1/3) + π * m, х = arctg5 + π * n, где m и n ∈ Z - множество целых чисел