Докажите тождество: (ctga+1) ^2 + (ctga-1) ^2=2/sin^2a

Используя формулы формулой квадрата разности (a - b) ^2 = a^2 - 2 * a * b + b^2 и квадрата суммы (a + b) ^2 = a^2 + 2 * a * b + b^2, раскроем скобки в левой части данного выражения и приведем подобный слагаемые:

(ctg (a) + 1) ^2 + (ctg (a) - 1) ^2 = 2/sin^2 (a) = ctg^2 (a) + 2ctg (a) + 1 + ctg^2 (a) - 2ctg (a) + 1

ctg^2 (a) + ctg^2 (a) + 2ctg (a) - 2ctg (a) + 1 + 1 = 2ctg^2 (a) + 2 = 2 * (ctg^2 (a) + 1).

Так как ctg (a) = cos (a) / sin (a), получаем:

2 * (ctg^2 (a) + 1) = 2 * ((cos (a) / sin (a)) ^2 + 1) = 2 * (cos^2 (a) / sin^2 (a) + 1) = 2 * (cos^2 (a) + sin^2 (a)) / sin^2 (a).

Используя тождество cos^2 (a) + sin^2 (a) = 1, получаем:

2 * (cos^2 (a) + sin^2 (a)) / sin^2 (a) = 2/sin^2 (a).

Следовательно,

(ctg (a) + 1) ^2 + (ctg (a) - 1) ^2 = 2/sin^2 (a).