При каких а уравнение имеет ровно три корня? x3 - x = a (x3 + x)

1. Преобразуем уравнение, приведем подобные члены и разложим многочлен на множители:

x^3 - x = a (x^3 + x); x^3 - x = ax^3 + ax; ax^3 + ax - x^3 + x = 0; (a - 1) x^3 + (a + 1) x = 0; x ((a - 1) x^2 + (a + 1)) = 0.

2. Один из корней: x = 0. Найдем остальные:

(a - 1) x^2 + (a + 1) = 0; (a - 1) x^2 = - (a + 1).

1) При a = 1 получим неверное равенство, нет корней:

0 = - 2.

2) При a ≠ 1 уравнение имеет два противоположных корня при условии:

- (a + 1) / (a - 1) > 0; (a + 1) / (a - 1) < 0; a ∈ (-1; 1).

Ответ: (-1; 1).