1-cos2x/1+cos2x=tg^2x

1. Для двойного угла тригонометрической функции косинус существует формула:

cos (2x) = cos^2 (x) - sin^2 (x). (1)

2. Сопоставляя эту формулу с тождеством для суммы квадратов синус и косинус:

sin^2 (x) + cos^2 (x) = 1, (2)

получим две дополнительные формулы для двойного угла косинус:

cos (2x) = cos^2 (x) - sin^2 (x) = cos^2 (x) - (1 - cos^2 (x)) = 2cos^2 (x) - 1; cos (2x) = 2cos^2 (x) - 1, (3) отсюда 1 + cos (2x) = 2cos^2 (x); (4) cos (2x) = cos^2 (x) - sin^2 (x) = 1 - sin^2 (x) - sin^2 (x) = 1 - 2sin^2 (x); cos (2x) = 1 - 2sin^2 (x), (5) отсюда 1 - cos (2x) = 2sin^2 (x). (6)

3. Преобразовав левую часть исходного тождества с помощью формул (4) и (6), получим:

(1 - cos (2x)) / (1 + cos (2x)) = 2sin^2 (x) / (2cos^2 (x)) = tg^2 (x).

Тождество доказано.