Решите уравнение x^4 = (3x-10) ^2

х⁴ = (3 * х - 10) ²;

х⁴ - (3 * х - 10) ² = 0;

Применим формулу разницы квадратов:

(х² - (3 * х - 10)) * (х² + (3 * х - 10)) = 0;

(х² - 3 * х + 10) * (х² + 3 * х - 10) = 0;

Произведение множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

х² - 3 * х + 10 = 0;

х² + 3 * х - 10 = 0;

Оба множителя приведены к виду уравнения: a * x² + b * x + c = 0, значит изначальное уравнение может иметь 4 корня.

Решим квадратные уравнения поочередно.

Первый множитель:

х² - 3 * х + 10 = 0;

Уравнение вида: a * x² + b * x + c = 0, где а = 1; b = - 3; с = 10, может иметь 2 решения:

х₁ = ( - b - √‾ (b² - 4 * a * c)) / (2 * a) = (3 - √‾ ((-3) ² - 4 * 10)) / (2 * 1) = (3 - √‾ (9 - 40)) / 2 = (3 - √‾-31) / 2 = 1,5 - (√‾ (-31 / 4)) = 1,5 - √‾-7,75 = 1,5 - i√‾7,75;

х₂ = ( - b + √‾ (b² - 4 * a * c)) / (2 * a) = (3 + √‾ ((-3) ² - 4 * 10)) / (2 * 1) = (3 + √‾ (9 - 40)) / 2 = (3 + √‾-31) / 2 = 1,5 + (√‾ (-31 / 4)) = 1,5 + √‾-7,75 = 1,5 + i√‾7,75;

Таким образом среди действительных чисел у уравнения (первого множителя) корней нет, есть решение только среди мнимых чисел.

Второй множитель:

х² + 3 * х - 10 = 0;

Уравнение вида: a * x² + b * x + c = 0, где а = 1; b = 3; с = - 10, может иметь 2 решения:

х₃ = ( - b - √‾ (b² - 4 * a * c)) / (2 * a) = (-3 - √‾ ((3) ² + 4 * 10)) / (2 * 1) = (-3 - √‾ (9 + 40)) / 2 = (-3 - √‾49) / 2 = (-3 - 7) / 2 = - 10 / 2 = - 5;

х₄ = ( - b + √‾ (b² - 4 * a * c)) / (2 * a) = (-3 + √‾ ((3) ² + 4 * 10)) / (2 * 1) = (-3 + √‾ (9 + 40)) / 2 = (-3 + √‾49) / 2 = (-3 + 7) / 2 = 4 / 2 = 2;

Таким образом, решением изначального уравнения среди действительных чисел стали два корня:

х₃ = - 5;

х₄ = 2.

Два других корня лежат в области мнимых чисел:

х₁ = 1,5 - i√‾7,75;

х₂ = 1,5 + i√‾7,75.