Решите неравенство sqrt (a+x) + sqrt (a-x) >a при всех значениях параметра а

1. Допустимые значения переменной:

√ (a + x) + √ (a - x) > a; (1)

{a + x ≥ 0;

{a - x ≥ 0; {x ≥ - a;

{x ≤ a; a) при a x ∈ ∅; неравенство не имеет решения; b) при a = 0, = > x = 0, неравенство не имеет решения; c) при a > 0, = > x ∈ [-a; a].

2. Возведем в квадрат обе части неравенства (1):

a + x + 2√ (a^2 - x^2) + a - x > a^2; 2a + 2√ (a^2 - x^2) > a^2; 2√ (a^2 - x^2) > a^2 - 2a; 2√ (a^2 - x^2) > a (a - 2). (2)

3. При a ∈ (0; 2) неравенство верно для любого x ∈ [-a; a].

4. a ∈ [2; ∞). Возведем в квадрат неравенство (2):

4 (a^2 - x^2) > (a (a - 2)) ^2; 4a^2 - 4x^2 > (a (a - 2)) ^2; 4x^2 < a^2 (4 - (a - 2) ^2); 4x^2 < a^2 (4 - a^2 + 4a - 4); 4x^2 < a^2 (4a - a^2); 4x^2 < a^3 (4 - a); x^2 < a^3 (4 - a) / 4. (3)

a) При a ∈ [4; ∞) неравенство не имеет решения;

b) При a ∈ [2; 4) решение неравенства:

x ∈ (-√ (a^3 (4 - a)) / 2; √ (a^3 (4 - a)) / 2).

Ответ:

1) a ∈ (-∞; 0], нет решения; 2) a ∈ (0; 2), x ∈ [-a; a]; 3) a ∈ [2; 4), x ∈ (-√ (a^3 (4 - a)) / 2; √ (a^3 (4 - a)) / 2); 4) a ∈ [4; ∞), нет решения.