корень (4 х+1) - корень (3 х+1) = 1

Преобразуем уравнение, разнеся корни по разные стороны равенства. Затем возведем обе части уравнения в квадрат, воспользовавшись формулой квадрата суммы. Но сначала определим область допустимых значений:

√‾ (4 * х + 1) - √‾ (3 * х + 1) = 1;

4 * х + 1 ≥ 0;

4 * х ≥ - 1;

х ≥ - 1/4;

3 * х + 1 ≥ 0;

3 * х ≥ - 1;

х ≥ - 1/3;

-1/3 < - 1/4, следовательно область допустимых значений:

х ≥ - 1/4 = - 0,25.

√‾ (4 * х + 1) = √‾ (3 * х + 1) + 1;

(√‾ (4 * х + 1)) ² = (√‾ (3 * х + 1) + 1) ²;

4 * х + 1 = 3 * х + 1 + 2 * √‾ (3 * х + 1) + 1;

4 * х + 1 - 3 * х - 1 - 1 = 2 * √‾ (3 * х + 1);

х - 1 = 2 * √‾ (3 * х + 1);

Повторно возведем обе части уравнения в квадрат, но сначала уточним нашу область допустимых значений:

х - 1 ≥ 0;

х ≥ 1;

1 > - 0,25;

Следовательно область допустимых значений:

х ≥ 1;

(х - 1) ² = (2 * √‾ (3 * х + 1)) ²;

х² - 2 * х + 1 = 4 * (3 * х + 1);

х² - 2 * х + 1 = 12 * х + 4;

х² - 2 * х + 1 - 12 * х - 4 = 0;

х² - 14 * х - 3 = 0;

Уравнение приведено к виду a * х² + b * х + c = 0, где а = 1; b = - 14; с = - 3.

Такое уравнение может иметь 2 решения:

х₁ = ( - b - √‾ (b² - 4 * a * c)) / (2 * a) = (14 - √‾ ((-14) ² + 4 * 3)) / (2 * 1) = (14 - √‾ (196 + 12)) / 2 = (14 - √‾208) / 2 = (14 - √‾ (16 * 13)) / 2 = (14 - 4 * √‾13) / 2 = 7 - 2 * √‾13 ≈ 7 - 2 * 3,60555 = - 0,2111 < 1;

х₂ = ( - b + √‾ (b² - 4 * a * c)) / (2 * a) = (14 + √‾ ((-14) ² + 4 * 3)) / (2 * 1) = (14 + √‾ (196 + 12)) / 2 = (14 + √‾208) / 2 = (14 + √‾ (16 * 13)) / 2 = (14 + 4 * √‾13) / 2 = 7 + 2 * √‾13 ≈ 7 + 2 * 3,60555 = 14,2111 > 1;

Только одно решение попадает в область допустимых значений:

х = 7 + 2 * √‾13 ≈ 14,2111.