У маши есть 6 карточек на каждой из которых написано натуральное число. Она произвольно выбирает 3 карточки и вычисляет сумму чисел, написанных на них. Проделав это для всех 20 возможных комбинаций из трех карточек, она обнаружила, что 10 сумм равны равны 16, а остальные 10 сумм - 18. Тогда наименьшее из чисел на карточке равно: Можно с решением

1. Пусть на карточках написаны натуральные числа a1, a2, a3, a4, a5 и a6 в порядке возрастания:

a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ a4 ≤ a5 ≤ a6.

2. Если бы все числа были равны, то и соответствующие суммы были бы равны, следовательно:

a1 < a6. (1)

3. Прибавив к обеим частям неравенства (1) a2 + a3, получим:

a1 + a2 + a3 < a6 + a2 + a3, отсюда: a1 + a2 + a3 = 16; a6 + a2 + a3 = 18, или a2 + a3 = 16 - a1; a2 + a3 = 18 - a6.

4. Подобным же образом получим:

a2 + a3 = 16 - a1; a2 + a4 = 16 - a1; a2 + a5 = 16 - a1; a3 + a4 = 16 - a1; a3 + a5 = 16 - a1; a4 + a5 = 16 - a1.

5. Из этих равенств следует, что:

a2 = a3 = a4 = a5.

6. Для любой тройки, составленных из этих чисел, имеем:

a2 + a3 + a4 = 3a2.

Поскольку сумма чисел кратна 3, значит, равна 18:

3a2 = 18; a2 = a3 = a4 = a5 = 6.

7. Тогда:

a1 = 16 - (a2 + a3) = 16 - (6 + 6) = 4; a6 = 18 - (a2 + a3) = 18 - (6 + 6) = 6.

8. Таким образом:

a1 = 4; a2 = a3 = a4 = a5 = a6 = 6.

Наименьшее число равно 4.

Ответ: 4.