6^x+8^x=10^x Решите уравнение

6^x + 8^x = 10^x;

(3 * 2) ^x + (4 * 2) ^x = (5 * 2) ^x;

3^x * 2^x + 4^x * 2^x - 5^x * 2^x = 0;

2^x * (3^x + 4^x - 5^x) = 0;

2^x = 0 - не имеет корней, т. к область значений показательной функции >0;

3^x + 4^x - 5^x = 0;

3^x + 4^x = 5^x, разделим обе части на 5^x, т. к оно >0;

(³/₅) ^x + (⁴/₅) ^x = 1, в знаменателе 5, в числителе 3 и 4 - пропорции треугольника Пифагора, что сразу наводит на мысль, что их квадраты выдадут нам верное равенство.

Проверим: (³/₅) ² + (⁴/₅) ² = ⁹/₂₅ + ¹⁶/₂₅ = ²⁵/₂₅ = 1.

Значит х = 2 - корень данного уравнения, причем единственный, т. к сумма двух монотонно убывающих функций есть функция монотонно убывающая.

Ответ: х = 2.