Чему равна сумма внешних углов треугольника, выпуклых четырехугольника и пятиугольника?

Внешние углы многоугольников являются смежными углами их внутренних углов, то есть сумма внутреннего угла и внешнего равна 180°.

Найдем сумму внешних углов треугольника.

Так как сумма внутренних углов треугольника равна 180°, то:

∠a + ∠b + ∠c = 180°.

Пусть ∠a1, ∠b1 и ∠c1 - это внешние углы треугольника, тогда:

∠a + ∠a1 = 180° → ∠a1 = 180° - ∠a;

∠b + ∠b1 = 180° → ∠b1 = 180° - ∠b;

∠c + ∠c1 = 180° → ∠c1 = 180° - ∠c.

Найдем сумму внешних углов треугольника:

∠a1 + ∠b1 + ∠c1 = 180° - ∠a + 180° - ∠b + 180° - ∠c = 540° - (∠a + ∠b + ∠c) = 540° - 180° = 360°.

По такому же принципу найдем сумму внешних углов выпуклого четырехугольника:

∠a + ∠b + ∠c + ∠d = 360°;

∠a1 + ∠b1 + ∠c1 + ∠d1 = 180° - ∠a + 180° - ∠b + 180° - ∠c + 180° - ∠d = 720° - (∠a + ∠b + ∠c + ∠d) = 720° - 360° = 360°.

Найдем сумму внешних углов выпуклого пятиугольника:

∠a + ∠b + ∠c + ∠d + ∠e = 540°.

∠a1 + ∠b1 + ∠c1 + ∠d1 + ∠e1 = 180° - ∠a + 180° - ∠b + 180° - ∠c + 180° - ∠d + 180° - ∠e = 900° - (∠a + ∠b + ∠c + ∠d + ∠e) = 900° - 540° = 360°.