В школе писали контрольную работу по математике. Одна треть всех школьников плюс ещё 19 школьников получили тройки, одна пятая всех школьников плюс ещё 20 школьников получили четвёрки, одна седьмая всех школьников плюс ещё 8 школьников получили двойки, а остальные школьники получили пятёрки. Сколько школьников получили четверки, если известно, что количество пятёрок меньше чем количество двоек?

Пусть контрольную писали T учеников.

Треть учеников и еще 19 учеников получили тройки. Их было 1/3T + 19 человек.

Одна пятая часть учеников и еще 20 учеников получили четверки. Их было 1/5T + 20 человек.

Одна седьмая часть учеников и еще 8 учеников получили двойки. Их было 1/7T + 8 человек.

Остальные ученики получили пятерки. Посчитаем, сколько их было.

T - (1/3T + 19) - (1/5T + 20) - (1/7T + 8) = T - 1/3T - 19 - 1/5T - 20 - 1/7T - 8 = (T - 1/3T - 1/5T - 1/7T) - (19 + 20 + 8) = (105/105T - 35/105T - 21/105T - 15/105T) - 47 = (105 - 35 - 21 - 15) / 105 * T - 47 = 34/105T - 47

Количество пятерок меньше, чем количество двоек. Составим неравенство.

34/105T - 47 < 1/7T + 8

34/105T - 1/7T < 8 + 47

34/105T - 15/105T < 55

19/105T < 55

1/105T < 55/19

1/105T < 2 + 17/19

В условии задачи фигурируют такие величины, как одна треть всех учеников, одна пятая часть всех учеников и одна седьмая часть всех учеников. Значит, число, обозначающее количество учеников, делится нацело на три, на пять и на семь. Три, пять и семь - это простые числа. Значит, число T должно делиться на их произведение, которое равно 105. Следовательно, 1/105T - это натуральное число.

А мы как раз выяснили, что 1/105T < 2 + 17/19. Есть только два натуральных числа, которые можно подставить вместо 1/105T, чтобы неравенство было верным: это 1 и 2.

Пусть 1/105T = 1

Проверим, чему будет равно число учеников, получивших пятерки. Почему мы проверяем именно это число? Потому что выражение, обозначающее число учеников, получивших пятерки, представляет собой разность. Оно может получиться отрицательным при определенных значениях T.

34/105T - 47 = 34 * 1 - 47 = 34 - 47 = - 13

-13 < 0

Значит, вариант, при котором 1/105T = 1, нам не подходит.

Пусть 1/105T = 2

Проверим, чему будет равно число учеников, получивших пятерки.

34/105T - 47 = 34 * 2 - 47 = 68 - 47 = 31

31 > 0

Значит, вариант, при котором 1/105T = 2, нам подходит.

1/105T = 2

T = 105 * 2 = 210

Посчитаем количество учеников, которые получили четверки.

1/5T + 20 = 1/5 * 210 + 20 = 42 + 20 = 62

Ответ: 62 ученика получили четверки.