Найти Интеграл: e^xdx / (e^2x + 7)

Рассмотрим неопределённый интеграл ∫ (e^x / e^{2 * x + 7}) dx, которого обозначим через А. По требованию задания, найдём интеграл А. С этой целью введём новую переменную у = e^x. Очевидно, что dy = (e^x) Ꞌdx = e^xdx. Кроме того, e^{2 * x + 7} = e^{2 * x} * e⁷ = e⁷ * (e ^x) ². Следовательно, А = ∫ (e^x / e^{2 * x + 7}) dx = ∫ (1 / e^{2 * x + 7}) * e^xdx = ∫ (1 / (e⁷ * (e ^x) ²)) * e^xdx = ∫ (1 / (e⁷ * у²) dy = ∫ (e^-7 * y^-2) dy. Согласно правила интегрирования ∫ (С * f (x)) dx = C * ∫f (x) dx, где С - константа, и формулы ∫x^αdx = x^{α + 1} / (α + 1), где α ≠ - 1, получим: А = e^-7 * ∫ у^-2dy = e^-7 * (y^{-2 + 1} / (-2 + 1)) + C = - 1 * e^-7 * y^-1 + С. Сделаем обратную замену. Тогда, имеем: А = - 1 * e^-7 * (e^x) ^-1 + С = - e⁻^{x - 7} + C.

Ответ: - e⁻^{x - 7} + C.