sin5x+sin2x+sin3x+sin4x=0

Перегруппируем слагаемые:

(sin5x + sin3x) + (sin2x + sin4x) = 0

Воспользуемся формулой суммы синусов: sinα + sinβ = 2sin (α + β) / 2 * cos (α - β) / 2.

2sin4x * cosx + 2sin3x * cosx = 0, выносим 2cosx за скобки;

2cosx * (sin4x + sin3x) = 0 → cosx = 0 или sin4x + sin3x = 0.

При cosx = 0 → x₁ = ±π/2 ± 2πn.

Для решения уравнения sin4x + sin3x = 0 опять воспользуемся формулой суммы синусов:

sin4x + sin3x = 2sin (7/2x) * cos (-x/2) = 0 → sin (7/2x) = 0 или cos (-x/2) = 0.

При cos (-x/2) = 0 → x₂ = π + 2πk, k∈ z.

При sin (7/2x) = 0 → 7/2x = πk, x₂ = 2πk/7.

m, n, k принадлежат Z.