Решите логарифмическое неравенство log_3 (x+4) (x-1) < log_3 (x-1)

log₃ (x + 4) (x - 1) < log₃ (x - 1).

Так как основания логарифмов равны и основание логарифма > 1 (3 > 1), то получается неравенство:

(x + 4) (x - 1) < x - 1.

Раскрываем скобки:

x^2 + 4x - x - 4 < x - 1.

Переносим все одночлены в левую часть и подводим подобные слагаемые:

x^2 + 4x - x - 4 - x + 1 < 0;

x^2 + 2x - 3 < 0.

Рассмотрим функцию у = x^2 + 2x - 3, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции (то есть точки пересечения с осью х) : у = 0.

x^2 + 2x - 3 = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 1; b = 2; c = - 3;

D = b^2 - 4ac; D = 2^2 - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16 (√D = 4);

x = (-b ± √D) / 2a;

х₁ = (-2 + 4) / 2 = 1;

х₂ = (-2 - 4) / 2 = - 3.

Отмечаем на числовой прямой точки - 3 и 1, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вверх). Неравенство имеет знак < 0, значит решением неравенства будут промежутки, где парабола находится выше прямой, то есть (-∞; - 3) и (1; + ∞).

Ответ: х принадлежит промежуткам (-∞; - 3) и (1; + ∞).