Высота PH боковой грани PCD правильной четырехугольной пирамиды PABCD равна 4√3 и равна стороне CD основания пирамиды. Найдите расстояние между прямыми АВ и PH

Так как CD = 4√3, а пирамида правильная, то все стороны основания ABCD равны 4√3.

Проведем высоту РК боковой грани АРВ (К принадлежит АВ). Соединим точки К и Н.

Рассмотрим треугольник РКН: РК = РН = 4√3 (как высоты равных треугольников, все боковые грани равны). КН = ВС = 4√3 (отрезок, параллельный стороне квадрата АВСD).

Значит, треугольник РКН равносторонний, угол КРВ равен 60°.

Проведем высоту КЕ в треугольнике РКВ (Е принадлежит РН), КЕ будет искомым расстоянием от прямой АВ до прямой РН.

Так как КЕ - высота в правильном треугольнике, то она является и медианой. РЕ = НЕ = 2√3.

По теореме Пифагора:

КЕ = √ (PK² - PE²) = √ ((4√3) ² - (2√3) ²) = √ (48 - 12) = √36 = 6.

Ответ: расстояние от прямой АВ до прямой РН равно 6.