Решите уравнение (3^x+3) / 4=3/3^x-2

Перенесем все значения в левую часть и приведем к общему знаменателю:

(3^x + 3) / 4 = 3 / (3^x - 2);

(3^x + 3) / 4 - 3 / (3^x - 2) = 0;

Найдем ОДЗ:

3^x - 2 ≠ 0;

3^х ≠ 2;

log ₃ 3^х ≠ log ₃ 2;

xlog ₃ 3 ≠ log ₃ 2;

x ≠ log ₃ 2;

Выполним замену:

3^x = a, а > 0;

(a + 3) / 4 - 3 / (a - 2) = 0;

(a + 3) / 4 * 4 (a - 2) / 4 (a - 2) - 3 / (a - 2) * 4 (a - 2) / 4 (a - 2) = 0;

((a + 3) (a - 2) - 3 * 4) / 4 (a - 2) = 0;

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю:

(a + 3) (a - 2) - 3 * 4 = 0;

a² - 2a + 3a - 6 - 12 = 0;

a² + a - 20 = 0;

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = 1² - 4 * 1 * ( - 20) = 1 + 80 = 81;

х1 = ( - b - √D) / 2a = ( - 1 - √81) / 2 * 1 = ( - 1 - 9) / 2 = - 10 / 2 = - 5, не подходит по ОДЗ;

х2 = ( - b - √D) / 2a = ( - 1 + √81) / 2 * 1 = ( - 1 + 9) / 2 = 8 / 2 = 4;

Подставим значение:

3^x = a;

3^x = 4;

log ₃ 3^х = log ₃ 4;

xlog ₃ 3 = log ₃ 4;

x = log ₃ 4;

Ответ: x = log ₃ 4.