Найдите корни уравнения 2 sin x + sin 2 x=cos x + 1, принадлежащие полуинтервалу ( - 2 П/3; П)

1. Синус двойного аргумента:

2sinx + sin (2x) = cosx + 1; 2sinx + 2sinx * cosx = cosx + 1.

2. Переносим все в левую часть и выносим за скобки множители 2sinx и (1 + cosx):

2sinx (1 + cosx) - (1 + cosx) = 0; (1 + cosx) (2sinx - 1) = 0.

3. Приравниваем каждый из множителей к нулю:

a)

1 + cosx = 0; cosx = - 1; x = π + 2πk, k ∈ Z.

b)

2sinx - 1 = 0; 2sinx = 1; sinx = 1/2; [x = π/6 + 2πk, k ∈ Z;

[x = 5π/6 + 2πk, k ∈ Z.

4. Полуинтервалу (-2π/3; π] принадлежат три корня:

π/6, 5π/6 и π.

Ответ: π/6, 5π/6 и π.