докажите тождество ctgt * sin^2t = (tgt+ctgt) ^-1

Прежде всего, допустим, что все тригонометрические выражения, участвующие в равенстве, имеют смысл. Левую часть данного равенства, обозначим через L, то есть, пусть L = ctgt * sin²t. Применим формулу 1 + сtg²α = 1 / sin²α, которую перепишем в виде sin²α = 1 / (1 + сtg²α). Имеем L = ctgt * (1 / (1 + сtg²t)) = ctgt / (1 + сtg²t). Умножим числитель и знаменатель полученной дроби на tgt. Тогда, учитывая формулу tgα * ctgα = 1, получим: L = (ctgt * tgt) / [ (1 + сtg²t) * tgt] = 1 / (1 * tgt + сtg²t * tgt) = 1 / (tgt + сtgt * сtgt * tgt) = 1 / (tgt + сtgt * 1) = (tgt + сtgt) ^-1. Что и требовалось доказать.