Решите уравнение 1) log2 (x+3) = 2 2) log0,6 (x-5) = -2 3) log√3 (x²-3x-7) = 2

1) log 2 (x + 3) = 2;

Найдем ОДЗ:

х + 3 > 0;

х > - 3;

х ∈ ( - 3; + ∞);

Преобразуем числовой коэффициент справа в логарифм:

2 = 2log 2 2 = log 2 2²;

log 2 (х + 3) = log 2 2²;

Из равенства основания логарифмов следует:

х + 3 = 2²;

х = 4 - 3;

х = 1;

Ответ: х = 1.

2) log 0,6 (х - 5) = - 2;

Найдем ОДЗ:

х - 5 > 0;

х > 5;

х ∈ (5; + ∞);

Преобразуем числовой коэффициент справа в логарифм:

- 2 = - 2log 0,6 0,6 = log 0,6 0,6 ( - 2);

log 0,6 (х - 5) = log 0,6 0,6 ( - 2);

Из равенства основания логарифмов следует:

х - 5 = 0,6 ( - 2);

х - 5 = 1 / 0,6²;

x - 5 = 1/0,36;

x - 5 = 2 7/9;

x = 2 7/9 + 5;

x = 7 7/9;

Ответ: x = 7 7/9.

3) log √3 (x² - 3x - 7) = 2;

Преобразуем числовой коэффициент справа в логарифм:

2 = 2log √3 √3 = log √3 (√3) ²;

log √3 (x² - 3x - 7) = log √3 (√3) ²;

Из равенства основания логарифмов следует:

(x² - 3x - 7) = (√3) ²;

x² - 3x - 7 - 3 = 0;

x² - 3x - 10 = 0;

Найдем корни, решив квадратное уравнение:

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = ( - 3) ² - 4 * 1 * ( - 10) = 9 + 40 = 49;

D › 0, значит:

х1 = ( - b - √D) / 2a = (3 - √49) / 2 * 1 = (3 - 7) / 2 = - 4 / 2 = - 2;

х2 = ( - b + √D) / 2a = (3 + √49) / 2 * 1 = (3 + 7) / 2 = 10 / 2 = 5;

Выполним проверку:

x² - 3x - 7 > 0;

Если х1 = - 2, то

( - 2) ² - 3 ( - 2) - 7 > 0;

4 + 6 - 7 > 0;

3 > 0;

Если х2 = 5, то

5² - 3 * 5 - 7 > 0;

25 - 15 - 7 > 0;

3 > 0;

Ответ: х1 = - 2, х2 = 5.