Найдите производную функцию f (x) = (x^2-x+1) / x^2 и вычислите f (1)

Решение:

Найдём производную функции: f (x) = (x² - x + 1) / x²

Эту функцию можно записать так:

f (x) = (x² - x + 1) / x² = x ^(-2) * (x² - x + 1)

Воспользовавшись формулами:

1) (xⁿ) ' = n * x⁽^n-1) (производная основной элементарной функции)

2) (с) ' = 0, где с - const (производная основной элементарной функции)

3) (u * v) ' = u' + v' (основное правило дифференцирования)

4) (uv) ' = u'v + uv' (основное правило дифференцирования)

И так, найдем поэтапно производную:

1) (x ^(-2) ) ' = - 2 * x ^(-2-1) = - 2 х^-3

2) (х² - х + 1) ' = (x²) ' + (-x) ' + (1) ' = 2 х - 1 + 0 = 2 х - 1

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

f (x) ' = ((x² - x + 1) / x²) ' = (x ^(-2) * (x² - x + 1)) ' = (x ^(-2) ) ' * (x² - x + 1) + x ^(-2) * ((x² - x + 1)) ' = (-2 х^-3) * (x² - x + 1) + x ^(-2) * (2 х - 1) = (2 х - 1) / x ^(-2) - 2 * (x² - x + 1) / х^-3

Найдем f' (1):

f' (1) = (2 * 1 - 1) / 1 ^(-2) - 2 * (1² - 1 + 1) / 1³ = (2 - 1) / 1 - 2 * (1 - 1 + 1) / 1 = 1 - 2 * 1 = 1 - 2 = - 1

Ответ: f' (1) = - 1