На какую степень числа 7 делится произведение натуральных чисел от 1 до 2014 включительно?

Чтобы узнать, на какую степень числа 7 делится произведение натуральных чисел от 1 до 2014, нужно подсчитать, сколько множителей кратных семи, присутствует в этом произведении:

2014 / 7 = 287 ост (5).

Каждый из этих множителей даст по одной степени числа 7, на которую в конечном счете будет делиться произведение чисел от 1 до 2014.

Однако, среди этих множителей присутствуют и те, что содержат в себе вторую степень числа 7, т. е. числа кратные 7^2? всего их:

2014 / 7^2 = 41 ост (5).

Это дает нам еще 41 степень числа 7.

Далее, подсчитаем количество множителей, содержащих в разложении на множители третью степень числа семь:

2014 / 7^3 = 5 ост (299).

Это дает нам еще 5 степеней числа 7.

7^4 = 2401 >2014, поэтому среди чисел нет множителей, содержащих в разложении на множители четвертую степень числа 7.

287 + 41 + 5 = 333.

Ответ: произведение натуральных чисел от 1 до 2014 включительно делится на 333 степень числа 7.