Решите неравенство методом интервалов: а) (x-8) (x-4) (x-7) > 0; б) х-5/х+7<0

а) (x - 8) (x - 4) (x - 7) > 0;

Найдем нули функции.

(x - 8) (x - 4) (x - 7) = 0;

х - 8 = 0;

х = 8;

x - 4 = 0;

х = 4;

x - 7 = 0;

х = 7.

Строим числовую прямую, отмечаем на ней получившиеся числа, по порядку: 4, 7, 8. Числа отмечаем пустыми кружочками, т. к. у нас строгое неравенство. Данные числа делят числовую прямую на четыре промежутка.

1) (-∞; 4); 2) (4; 7); 3) (7; 8); 4) (8; + ∞)

Проверяем знак в каждом интервале. Берем любое число из промежутка и подставляем в выражение (x - 8) (x - 4) (x - 7).

На интервале (-∞; 4) функция принимает значение -.

На интервале (4; 7) функция принимает значение +.

На интервале (7; 8) функция принимает значение -.

На интервале (8; + ∞) функция принимает значение +.

Наше выражение больше нуля. Значит, берем те промежутки, где функция принимает значения +

Ответ. (4; 7) и (8; + ∞).

б) (х - 5) / (х + 7) < 0;

Найдем нули функции.

х - 5 = 0;

х = 5;

х + 7 ≠ 0;

х ≠ - 7.

Строим числовую прямую, отмечаем на ней получившиеся числа, по порядку: - 7, 5. Числа отмечаем пустыми кружочками, т. к. у нас строгое неравенство, и знаменатель не равен 0. Данные числа делят числовую прямую на три промежутка.

1) (-∞; - 7); 2) (-7; 5); 3) (5; + ∞).

Проверяем знак в каждом интервале. Берем любое число из промежутка и подставляем в выражение (х-5) / (х+7).

На интервале (-∞; - 7) функция принимает значение +.

На интервале (-7; 5) функция принимает значение -.

На интервале (5; + ∞) функция принимает значение +.

Наше выражение меньше нуля. Значит, берем те промежутки, где функция принимает значения -.

Ответ. (-7; 5).